材料:為了美化環(huán)境,某房地產(chǎn)公司打算在所管轄的一個(gè)居民小區(qū)內(nèi)的一塊半圓形空地上,劃出一個(gè)內(nèi)接矩形辟為綠地,且使矩形的一邊落在半圓的直徑上,而另外兩個(gè)頂點(diǎn)在半圓的圓周上,已知半圓的半徑為30米.為了使綠地的面積最大,該公司請(qǐng)了本公司的一位設(shè)計(jì)師,設(shè)計(jì)出了這個(gè)半圓內(nèi)接矩形的長(zhǎng)與寬的關(guān)系.該設(shè)計(jì)師的計(jì)算過(guò)程如下:

如下圖,設(shè)CD=x,則OD=,矩形的面積設(shè)為S,則

S=2x·

所以當(dāng)x2=450,即x=時(shí),S有最大值,即此時(shí)矩形的面積最大.

問(wèn)題:現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí),利用三角函數(shù)的知識(shí)該如何解決這一問(wèn)題?

答案:
解析:

若用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決這一問(wèn)題,可設(shè)∠COD=α,則CD=30sinα,OD=30cosα,矩形的面積為S=2CD·OD=900×2sinαcosα=900sin2α,根據(jù)正弦函數(shù)值域即可求出長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)矩形的面積最大.


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