Question

7．若存在實數(shù)x₀，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）的不動點．己知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+b的圖象關(guān)于點（p，0）對稱，p＞0，證明：“f（x）恰有一個零點”是“f（x）恰有一個不動點”的充分不必要條件．

Answer 1

分析 由已知得到a，b與p的關(guān)系，代入原函數(shù)，可得f（x）=x³-3px²+x+2p³-p，求出使函數(shù)f（x）有一個不動點的p的范圍，驗證存在p使函數(shù)f（x）恰有一個零點得答案．

解答 證明：∵f（x）=x³+ax²+x+b的圖象關(guān)于點（p，0）對稱，
設(shè)M（x，y），M關(guān)于點（p，0）的對稱點為M′（2p-x，-y），
則-y=（2p-x）³+a（2p-x）²+（2p-x）+b，
即y=-（2p-x）³-a（2p-x）²-（2p-x）-b=x³-（6p+a）x²+（12p²-4ap+1）x-8p³-4ap²-2p-b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-（6p+a）}\\{b=-8{p}^{3}-4a{p}^{2}-2p-b}\end{array}\right.$，則a=-3p，b=2p³-p．
∴f（x）=x³-3px²+x+2p³-p．
由f（x）恰有一個不動點，得x³-3px²+x+2p³-p=x只有一個實根，
即x³-3px²+2p³-p=0只有一個實根，
令g（x）=x³-3px²+2p³-p，
g′（x）=3x²-6px，
∴當(dāng)x∈（-∞，0），（2p，+∞）時，g′（x）＞0，
當(dāng)x∈（0，2p）時，g′（x）＜0，
∴g（x）的極大值為g（0）=2p³-p，極小值為g（2p）=4p³-p．
要使g（x）=x³-3px²+2p³-p只有一個零點，則2p³-p＜0或4p³-p＞0，
解得：p＞0．
由f（x）=x³-3px²+x+2p³-p．
得f′（x）=3x²-6px+1，
當(dāng)△=36p²-12≤0，即-$\frac{\sqrt{3}}{3}≤p≤\frac{\sqrt{3}}{3}$時，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞增，f（x）僅有一個零點；
∴存在P，使得f（x）恰有一個零點．
∴“f（x）恰有一個零點”是“f（x）恰有一個不動點”的充分不必要條件．

點評 本題考查必要條件、充分條件、充要條件的判定方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查學(xué)生的邏輯思維能力和推理論證能力，是中檔題．