Question

【題目】如圖所示的自動通風設施.該設施的下部是等腰梯形，其中為2米，梯形的高為1米， 為3米，上部是個半圓，固定點為的中點. 是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿（橫桿面積可忽略不計），且滑動過程中始終保持和平行.當位于下方和上方時，通風窗的形狀均為矩形（陰影部分均不通風）.

（1）設與之間的距離為（且）米，試將通風窗的通風面積（平方米）表示成關于的函數(shù)；

（2）當與之間的距離為多少米時，通風窗的通風面積取得最大值？

Answer 1

【答案】（1），（2）當與之間的距離為米時，通風窗的通風面積取得最大值.

【解析】試題分析：（1）三角形的面積與x的關系是分段函數(shù)，所以分類討論即可．

（2）根據(jù)分段函數(shù)，分別求得每段上的最大值，最后取它們當中最大的，即為原函數(shù)的最大值，并明確取值的狀態(tài)，從而得到實際問題的建設方案．

試題解析：

解：（1）當時，過作于（如下圖），

則， ， ，

由，得，

∴，

∴ ；

當時，過作于，連接（如下圖），

則， ，

∴，

∴，

綜上： ；

（2）當時， 在上遞減，

∴；

2°當時， ，

當且僅當，即時取“=”，

∴，此時，∴的最大值為，

答：當與之間的距離為米時，通風窗的通風面積取得最大值.