Question

12．已知函數(shù)f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[-1，1]，若a，b，c∈R⁺時(shí)，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=m．
（1）求證：a+2b+3c≥9；
（2）求證：$\frac{1}{ab}$+$\frac{2}{3ac}$+$\frac{1}{3bc}$≤$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由題意可得-1，1為f（x+2）=0的解，可得m=1，即為$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，可得a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$），再由三元均值不等式即可得證；
（2）由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，兩邊平方，結(jié)合二元均值不等式和累加法，即可得證．

解答 證明：（1）f（x+2）≥0即為m-|x|≥0的解集為[-1，1]，
可得-1，1為f（x+2）=0的解，可得m=1，
即為$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，a，b，c＞0，
則a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$）
≥3$\root{3}{6abc}$•3$\root{3}{\frac{1}{6abc}}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c取得等號(hào)；
（2）由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，可得
（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$）²=1，
即有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$+$\frac{1}{9{c}^{2}}$+$\frac{1}{ab}$+$\frac{2}{3ac}$+$\frac{1}{3bc}$=1，
而$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$≥$\frac{1}{ab}$，$\frac{1}{4^{2}}$+$\frac{1}{9{c}^{2}}$≥$\frac{1}{3bc}$，
$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{9{c}^{2}}$≥$\frac{2}{3ac}$，
累加可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$+$\frac{1}{9{c}^{2}}$≥$\frac{1}{2ab}$+$\frac{1}{6bc}$+$\frac{1}{3ac}$，
即有1-（$\frac{1}{ab}$+$\frac{2}{3ac}$+$\frac{1}{3bc}$）≥$\frac{1}{2ab}$+$\frac{1}{6bc}$+$\frac{1}{3ac}$，
則$\frac{3}{2ab}$+$\frac{1}{2bc}$+$\frac{1}{ac}$≤1，
即為$\frac{1}{ab}$+$\frac{2}{3ac}$+$\frac{1}{3bc}$≤$\frac{2}{3}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用均值不等式和不等式的性質(zhì)和累加法，同時(shí)考查絕對(duì)值表達(dá)式的解法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．