已知函數(shù)f(x)=sinx-cosx,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)在[0,2π]內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在x=x0處取到最大值,求f(x0)+f(2x0)+f(3x0)的值;
(3)若g(x)=ex(x∈r),求證:方程f(x)=g(x)在[0,+∞)內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)解.
(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.69,π≈3.14)
分析:(1)在f(x)中提出
2
湊出兩角和的正弦公式,利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)f(x);令整體角在正弦的遞增區(qū)間上,求出x的范圍即為遞增區(qū)間.
(2)通過(guò)整體角處理的方法,令整體角等于2kπ+
π
2
求出角x0,代入求出f(x0)+f(2x0)+f(3x0)的值.
(3)通過(guò)分段討論求出兩個(gè)函數(shù)的最值,判斷出兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)情況,得到方程解的情況.
解答:解:(1)f(x)=sinx-cosx=
2
sin(x-
π
4
)
,
x-
π
4
∈[2kπ-
π
2
,2kπ+
π
2
](k∈z)

x∈[2kπ-
π
4
,2kπ+
4
](k∈Z)
,(2分)
由于X∈[0,2π],則f(x)在[0,2π]內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,
4
]和[
4
,2π]
;
(2)依題意,x0=2kπ+
4
(k∈Z)
,(6分)
由周期性,f(x0)+f(2x0)+f(3x0
=(sin
4
-cos
4
)+(sin
2
-cos
2
)
+(sin
4
-cos
4
)=
2
-1
;(8分)
(3)函數(shù)g(x)=ex(x∈R)為單調(diào)增函數(shù),
且當(dāng)x∈[0,
π
4
]
時(shí),f(x)≤0,g(x)=ex>0,此時(shí)有f(x)<g(x);(10分)
當(dāng)x∈[
π
4
,+∞)
時(shí),由于lne
π
4
=
π
4
≈0.785,而ln
2
≈0.345,
則有lne
π
4
> ln
2
,即g(
π
4
)=e
π
4
2
,
又Qg(x)為增函數(shù),∴當(dāng)x∈[
π
4
,+∞)
時(shí),g(x)>
2
(12分)
而函數(shù)f(x)的最大值為
2
,即f(x)≤
2
,
則當(dāng)x∈[
π
4
,+∞
時(shí),恒有f(x)<g(x),
綜上,在[0,+∞)恒有f(x)<g(x),
即方程f(x)=g(x在[0,+∞)內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)解.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查兩個(gè)角的和差的正弦公式、考查整體角處理的思想方法、考查方程解的情況轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)的情況.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax+bsinx,當(dāng)x=
π
3
時(shí),取得極小值
π
3
-
3

(1)求a,b的值;
(2)對(duì)任意x1,x2∈[-
π
3
,
π
3
]
,不等式f(x1)-f(x2)≤m恒成立,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)直線l:y=g(x),曲線S:y=F(x),若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn);②對(duì)任意x∈R都有g(shù)(x)≥F(x),則稱直線l與曲線S的“上夾線”.觀察下圖:

根據(jù)上圖,試推測(cè)曲線S:y=mx-nsinx(n>0)的“上夾線”的方程,并作適當(dāng)?shù)恼f(shuō)明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-blnx在(1,2]是增函數(shù),g(x)=x-b
x
在(0,1)為減函數(shù).
(1)求b的值;
(2)設(shè)函數(shù)φ(x)=2ax-
1
x2
是區(qū)間(0,1]上的增函數(shù),且對(duì)于(0,1]內(nèi)的任意兩個(gè)變量s、t,f(s)≥?(t)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=cos( 2x+
π
3
)+sin2x.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,滿足2
AC
CB
=
2
ab,c=2
2
,f(A)=
1
2
-
3
4
,求△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知矩陣A=
a2
1b
有一個(gè)屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
,
①求矩陣A;
②已知矩陣B=
1-1
01
,點(diǎn)O(0,0),M(2,-1),N(0,2),求△OMN在矩陣AB的對(duì)應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積.
(2)已知在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
 t
(t為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρco sθ+3=0.
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
②設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離的取值范圍.
(3)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|.
①求不等式f(x)≥3的解集;
②若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-a在R上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a
2x
+xlnx
,g(x)=x3-x2-x-1.
(1)如果存在x,x∈[0,2],使得g(x)-g(x)≥M,求滿足該不等式的最大整數(shù)M;
(2)如果對(duì)任意的s,t∈[
1
3
,2],都有f(s)≥g(t)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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