Question

（Ⅰ）若a，b∈R，試證：a²+b²≥2（a+b-1）；
（Ⅱ）已知正數(shù)a，b滿足2 a²+3 b²=9，求證：a

1+b2

≤

6

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證不等式成立，只需證：a²+b²-2（a+b-1）≥0成立，只需證：（a-1）²+（b-1）²≥0成立．
（Ⅱ） 倍要證不等式的左邊化為

1

6

×

2a2(3+3b2)

，使用基本不等式可得

1

6

×

2a2(3+3b2)

 ≤

1

6

×

2a2+(3+3b2)

2

，把已知條件代入可證的結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）證明：欲證：a²+b²≥2（a+b-1）成立，只需證：a²+b²-2（a+b-1）≥0成立，
只需證：（a-1）²+（b-1）²≥0成立，上式對(duì)a，b∈R顯然成立，故原不等式a²+b²≥2（a+b-1）成立．
（Ⅱ）證明：a

1+b2

=

a2(1+b2)

=

1

6

×

2a2(3+3b2)

 
≤

1

6

×

2a2+(3+3b2)

2

=

1

6

×

(2a2+3b2)+3

2

=

1

6

×

9+3

2

=

6

，
當(dāng)且僅當(dāng)

2a2+3b2=9 2a2=3+3b2 a＞0，b＞0

，即 

a= 3 b=1

時(shí)，取等號(hào)，
綜上：a

1+b2

≤

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查用分析法證明不等式，基本不等式的應(yīng)用，將式子變形后使用基本不等式是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．