Question

13．已知t為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2log_a（2x+t-2），g（x）=log_ax，其中0＜a＜1．
（1）若函數(shù)y=g（a^x+1）-kx是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，f（x）的圖象始終在g（x）的圖象的下方，求t的取值范圍；
（3）設(shè)t=4，當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|的值域?yàn)閇0，2]，若n-m的最小值為$\frac{1}{6}$，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的定義可得k的值；
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得，只需要t＞-2x+$\sqrt{x}$+2恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出t的取值范圍即可；
（3）先判斷函數(shù)y=|f（x）|的單調(diào)性，令|2log_a（2x+2）|=2，得到x=$\frac{a-2}{2}$或$\frac{1-2a}{2a}$，即可得到n-m的最小值為（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{a-2}{2}$=$\frac{1}{6}$，求出a即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=g（a^x+1）-kx是偶函數(shù)，
∴l(xiāng)og_a（a^-x+1）+kx=log_a（a^x+1）-kx，對(duì)任意x∈R恒成立，
∴2kx=log_a（a^x+1）-log_a（a^-x+1）=log_a（$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{-x}+1}$）=x
∴k=$\frac{1}{2}$，
（2）由題意設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=2log_a（2x+t-2）-log_ax＜0在x∈[1，4]恒成立，
∴2log_a（2x+t-2）＜log_ax，
∵0＜a＜1，x∈[1，4]，
∴只需要2x+t-2＞$\sqrt{x}$恒成立，
即t＞-2x+$\sqrt{x}$+2恒成立，
∴t＞（-2x+$\sqrt{x}$+2）_max，
令y=-2x+$\sqrt{x}$+2=-2（$\sqrt{x}$）²+$\sqrt{x}$+2=-2（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，x∈[1，4]，
∴（-2x+$\sqrt{x}$+2）_max=1，
∴t的取值范圍是t＞1，
（3）∵t=4，0＜a＜1，
∴函數(shù)y=|f（x）|=|2log_a（2x+2）|在（-1，-$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∵當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|的值域?yàn)閇0，2]，且f（-$\frac{1}{2}$）=0，
∴-1＜m≤$-\frac{1}{2}$≤n（等號(hào)不同時(shí)取到），
令|2log_a（2x+2）|=2，得x=$\frac{a-2}{2}$或$\frac{1-2a}{2a}$，
又[$\frac{1-2a}{2a}$-（-$\frac{1}{2}$）]-[（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{a-2}{2}$]=$\frac{（a-1）^{2}}{2a}$＞0，
∴$\frac{1-2a}{2a}$-（-$\frac{1}{2}$）＞（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{a-2}{2}$，
∴n-m的最小值為（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{a-2}{2}$=$\frac{1}{6}$，
∴a=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．