Question

10．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足下列三個條件：
（1）f（x-2）+f（-x）=0； 
（2）f（2-x）=f（x）； 
（3）在（-1，1]上的表達式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}sin（\frac{π}{2}x）x∈（0，1]\\|lg（x+1）|x∈（-1，0]\end{array}$．
已知函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x∈[0，+∞）}\\{x+1，x∈（-∞，0）}\end{array}$，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，3]內共有3個解．

Answer 1

分析 由f（x-2）+f（-x）=0，可得函數(shù)關于（1，0）對稱； f（2-x）=f（x），可得函數(shù)的周期為4； 在同一坐標系中作出f（x），g（x）的圖象，即可得出結論．

解答 解：由f（x-2）+f（-x）=0，可得函數(shù)關于（1，0）對稱；
 f（2-x）=f（x），可得函數(shù)關于直線x=1對稱； 
又f（x-2）=-f（-x）=-f（x+2），∴f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期為4．
在同一坐標系中作出f（x），g（x）的圖象，如圖所示

∴方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，3]內共有3個解．
故答案為：3．

點評 本題考查方程解的個數(shù)的確定，考查函數(shù)的周期性，對稱性，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想，正確作出函數(shù)的圖象是關鍵．