Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+kx²-x+m，k，m∈R
（Ⅰ）若k=f′（$\frac{2}{3}$），求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，求k的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出k的值，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2k≥$\frac{1-{3x}^{2}}{x}$=$\frac{1}{x}$-3x在（1，2）上恒成立，求出$\frac{1}{x}$-3x的最大值，從而求出k的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2kx-1，
由f′（$\frac{2}{3}$）=k，解得：k=-1，
∴f′（x）=（3x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{3}$），（1，+∞）遞增，在（-$\frac{1}{3}$，1）遞減；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，
則f′（x）≥0在（1，2）恒成立，
即2k≥$\frac{1-{3x}^{2}}{x}$=$\frac{1}{x}$-3x在（1，2）上恒成立，
而$\frac{1}{x}$-3x在（1，2）遞減，
∴2k≥-2，
解得：k≥-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．