Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移φ個(gè)單位，所的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求φ的最小正值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由二倍角公式化簡(jiǎn)解析式可得：f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），由周期公式可求T，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）把函數(shù)式f（x）=sin2x+cos2x化積為f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），然后利用三角函數(shù)的圖象平移得到y(tǒng)=

2

sin（2x+

π

4

-2φ），結(jié)合該函數(shù)為偶函數(shù)求得φ的最小正值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∴T=

2π

2

=π，
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z
（2）把該函數(shù)的圖象右移φ個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=

2

sin[2（x-φ）+

π

4

]=

2

sin（2x+

π

4

-2φ）．
又所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則

π

4

-2φ=kπ+

π

2

，k∈Z．
∴當(dāng)k=-1時(shí)，φ有最小正值是

3π

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查了三角函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于中檔題．