【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ )的圖象如圖所示,直線x= ,x= 是其兩條對稱軸.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(α)= ,且 ,求 的值.

【答案】
(1)解:由題意, = = ,∴T=π;

又∵ω>0,∴ω=2,

∴f(x)=2sin(2x+φ);

∵f( )=2sin( +φ)=2,

∴解得φ=2kπ﹣ (k∈Z);

又∵﹣ <φ< ,∴φ=﹣ ,

∴f(x)=2sin(2x﹣ );

∵2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ (k∈Z),

∴kπ﹣ ≤x≤kπ+ (k∈Z),

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z)


(2)解:解法1:依題意得,2sin(2α﹣ )= ,即sin(2α﹣ )= ,

<α< ,∴0<2α﹣ ;

∴cos(2α﹣ )= = ,

f( +α)=2sin[(2α﹣ )+ ];

∵sin[(2α﹣ )+ ]=sin(2α﹣ )cos +cos(2α﹣ )sin

= + )= ,

∴f( +α)=

解法2:依題意得,sin(2α﹣ )= ,得sin2α﹣cos2α= ,①

<α< ,∴0<2α﹣ ,

∴cos(α﹣ )= = ,

由cos(2α﹣ )= 得,sin2α+cos2α= ;②

① +②得,2sin2α= ,

∴f( +α)= .(

解法3:由sin(2α﹣ )= 得,sin2α﹣cos2α= ,

兩邊平方得,1﹣sin4α ,∴sin4α= ,

<α< ,∴ <4α< ,∴cos4α=﹣ =﹣

∴sin22α= = ;

又∵ <2α< ,∴sin2α= ,

∴f( +α)=


【解析】(1)根據(jù)函數(shù)的圖象求出T、ω和φ的值,即得f(x),再求出f(x)的單調(diào)增區(qū)間;(2)解法1:由sin(2α﹣ )求出cos(2α﹣ )的值,利用兩角和的公式計(jì)算f( +α)的值;解法2:由sin(2α﹣ )得sin2α﹣cos2α的值,cos(α﹣ )得cos(2α﹣ )即sin2α+cos2α的值,計(jì)算出f( +α)的值;解法3:由sin(2α﹣ )得sin2α﹣cos2α的值,再得sin4α的值,再求出sin2α的值,從而求出f( +α)的值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換,需要了解圖象上所有點(diǎn)向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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Q(x﹣2a,﹣y)是函數(shù)y=g(x)圖象上的點(diǎn).
(1)寫出函數(shù)y=g(x)的解析式;
(2)若當(dāng)x∈[a+2,a+3]時,恒有|f(x)﹣g(x)|≤1,試確定a的取值范圍.

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