Question

（1）若，求的最大值。
（2）為何值時(shí)，直線和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)。

Answer 1

（1）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）當(dāng)時(shí)，d取最小值。

試題分析： （1）根據(jù)已知條件，結(jié)合一正二定，三相等的思想來(lái)求解最值。
（2）聯(lián)立方程組，根據(jù)得到的方程的解的個(gè)數(shù)得到結(jié)論。
（1）已知雙曲線實(shí)半軸a₁=4，虛半軸b₁=2，半焦距c₁=，
∴橢圓的長(zhǎng)半軸a₂=c₁=6，橢圓的半焦距c₂=a₁=4，橢圓的短半軸=，
∴所求的橢圓方程為                   …………4分
（2）由已知,，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則
由已知得
             …………6分
則，解之得，       
由于y>0，所以只能取，于是，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為……8分
（3）直線，設(shè)點(diǎn)M是，則點(diǎn)M到直線AP的距離是，于是，
又∵點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸上，即         …………10分
∴當(dāng)時(shí)，橢圓上的點(diǎn)到的距離
   
又  ∴當(dāng)時(shí)，d取最小值         …………12分
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能根據(jù)題中的條件，得到均值不等式的結(jié)構(gòu)，求解最值也可以通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解最值，同時(shí)要對(duì)于直線與雙曲線的位置關(guān)系，通過(guò)聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)換為方程的解的問(wèn)題來(lái)得到。