Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，滿足a₂=3，a₅=6，數(shù)列{b_n-2a_n}是公比為3等比數(shù)列，且b₂-2a₂=9．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）分解等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用分組求和法即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）由a₂=3，a₅=6得

a1+d=3 a1+4d=6

，解得a₁=2，d=1，
則a_n=2+n-1=n+1．
∵數(shù)列{b_n-2a_n}是公比為3等比數(shù)列，且b₂-2a₂=9．
∴b₁-2a₁=b₁-4=3，解得b₁=7，
則b_n-2a_n=3•3^n-1=3ⁿ，
則b_n=2a_n+3ⁿ=2（n+1）+3ⁿ；
（Ⅱ）∵b_n=2a_n+3ⁿ=2（n+1）+3ⁿ；
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=[2×2+2×3+…+2（n+1）]+（3+3²+3³+…+3ⁿ]=

[4+2(n+1)]n

2

+

3(1-3n)

1-3

=n（3+n）+

3

2

（3ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列和的求解，利用分組求和法以及等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式是解決本題的關(guān)鍵．