Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數n，有S_n、a_n、n成等差數列．
（Ⅰ）求證：數列{a_n+1}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{}的前n項和T_n；
（Ⅲ）數列{b_n}滿足b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n+1，若{b_n}為等比數列，求實數λ．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，2a_n=S_n+n
當n=1時，2a₁=a₁+1
∴a₁=1
n≥2時，2a_n-1=s_n-1+n-1
兩式相減得，2a_n-2a_n-1=a_n+1
∴a_n=2a_n-1+1
令1+a_n=d_n，d₁=a₁+1=2
當n≥2時，=2
∴數列{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數
∴， …（4分）
（Ⅱ）==
∴
=
（Ⅲ）∵b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n+1=
∴b₂=λb₁+2=3λ+2
∵{b_n}為等比數列
∴
∴9λ²+12λ+4=9λ²+6λ+12
∴
此時
當時，b₁=3，b₂=6，q=2
∴
∴b_n+1===3•2ⁿ
滿足
∴ …（12分）
分析：（Ⅰ）依題意，2a_n=S_n+n，當n=1時，可求a₁，n≥2時，由2a_n-1=s_n-1+n-1，兩式相減得，a_n=2a_n-1+1，可證明，進而可求通項
（Ⅱ）==，利用分組，結合等比數列的求和公式可求數列的和
（Ⅲ）由 {b_n}為等比數列 可得，結合已知遞推公式代入可求λ
點評：本題主要考查了利用構造法證明等比數列，及通項公式的求解，分組求和方法的應用，等差數列、等比數列的求和公式的應用，試題具有一定的綜合性