Question

3．如圖，一豎立在水平對(duì)面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處，則該小蟲爬行的最短路程為$4\sqrt{3}m$，則圓錐底面圓的半徑等于（　�。�

• A． 1m
• B． $\frac{3}{2}m$
• C． $\frac{4}{3}m$
• D． 2m

Answer 1

分析 作出該圓錐的側(cè)面展開圖，該小蟲爬行的最短路程為PP'，由余弦定理求出$∠P'OP=\frac{2π}{3}$．設(shè)底面圓的半徑為r，求解即可得到選項(xiàng)．

解答 解：作出該圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示：
該小蟲爬行的最短路程為PP′，由余弦定理可得$cos∠P'OP=\frac{{O{P^2}+O{{P'}^2}-P{{P'}^2}}}{2OP•OP'}=-\frac{1}{2}$，
∴$∠P'OP=\frac{2π}{3}$．設(shè)底面圓的半徑為r，則有$2πr=\frac{2π}{3}×4$，
∴$r=\frac{4}{3}$．故C項(xiàng)正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間幾何體的表面展開圖的應(yīng)用，最小值的求法，三角形的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．