設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2-
y2
4
=1的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0，且|
PF2
|=λ|
PF1
|，則λ的值為（　�。�
分析：利用向量減法的定義，結(jié)合數(shù)量積的運算性質(zhì)，將(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0化簡得
|OP|
 =
|OF2|
 =c=
5
，從而得到△PF1F2是以P為直角頂點的直角三角形，再由勾股定理和雙曲線的定義建立方程組，解出
|PF1|
、
|PF2|
的值，從而得出λ的值．
解答：解：∵
F2P
=
OP
-
OF2

∴(
OP
+
OF2
)•
F2P
=(
OP
+
OF2
)•(
OP
-
OF2
)=0
即
OP
2=
OF2
2，得
|OP|
 =
|OF2|
 =c=
5

∴△PF1F2中，中線
|OP|
 =
1
2
|F2F2|
 ，得PF1⊥PF2，
由此可得
|PF1| 
2+
|PF2|
2=4c2=20
|
|PF1|
 -
|PF2|
 |=2a=2
，解之得
|PF1|
=4，
|PF2|
=2或
|PF1|
=2，
|PF2|
=4
∵點P在雙曲線右支上，
∴
|PF1|
＞
|PF2|
，得
|PF1|
=4，
|PF2|
=2，結(jié)合|
PF2
|=λ|
PF1
|得λ=
1
2

故選B
點評：本題以向量為載體，求雙曲線兩條焦半徑的比值，著重考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，點P在雙曲線上，若
PF1
•
PF2
=0 且|
PF1
||
PF2
|=2ac（c=
a2+b2
），則雙曲線的離心率為（　�。�
A、
1+
5
2
B、
1+
3
2
C、2
D、
1+
2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•寶山區(qū)模擬）雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上一點(2，
3
)到左，右兩焦點距離的差為2．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的左右焦點，P是雙曲線上的點，若|PF1|+|PF2|=6，求△PF1F2的面積；
（3）過（-2，0）作直線l交雙曲線C于A，B兩點，若
OP
=
OA
+
OB
，是否存在這樣的直線l，使OAPB為矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1、F2是雙曲線x2-
y224
=1的兩個焦點，是雙曲線上的一點，且3|PF1|=4|PF2|，則△PF1F2的面積等于
24
24
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•許昌三模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線
x2
3
-y2=1的兩個焦點，P在雙曲線上，當(dāng)△F1PF2的面積為2時，
PF1
•
PF2
的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1、F2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O為坐標(biāo)原點），且tan∠PF2F1=2，則雙曲線的離心率為（　�。�

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同步練習(xí)冊答案