Question

17．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n=3ⁿ+2a_n-1（n≥2，n∈N^*），求通項公式a_n．

Answer 1

分析 由a_n=3ⁿ+2a_n-1化簡可得$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-3=$\frac{2}{3}$（$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$-3），從而可得數列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-3}是以-$\frac{8}{3}$為首項，$\frac{2}{3}$為公比的等比數列，從而寫出$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-3=-$\frac{8}{3}$•（$\frac{2}{3}$）^n-1，從而解得．

解答 解：∵a_n=3ⁿ+2a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1+$\frac{2}{3}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-3=$\frac{2}{3}$（$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$-3），
又∵$\frac{{a}_{1}}{3}$-3=-$\frac{8}{3}$≠0，
∴數列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-3}是以-$\frac{8}{3}$為首項，$\frac{2}{3}$為公比的等比數列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-3=-$\frac{8}{3}$•（$\frac{2}{3}$）^n-1，
故a_n=（-$\frac{8}{3}$•（$\frac{2}{3}$）^n-1+3）3ⁿ
=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²．

點評 本題考查了等比數列的性質的應用及轉化思想與構造法的應用，屬于中檔題．