【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.

（2）曲線，是否相交？若相交，請(qǐng)求出公共弦長(zhǎng)；若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

試題（Ⅰ）參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)即可，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用兩者坐標(biāo)之間的關(guān)系互化，此類問(wèn)題一般較為容易；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，兩曲線都是圓，判斷兩圓的位置關(guān)系，利用圓心距與兩半徑大小關(guān)系判斷即可，兩圓相交，公共弦和易求.

試題解析：（Ⅰ）由消去參數(shù)，得的普通方程為：；

由，得，化為直角坐標(biāo)方程為即

（Ⅱ）∵圓的圓心為，圓的圓心為

∴，∴兩圓相交

設(shè)相交弦長(zhǎng)為，因?yàn)閮蓤A半徑相等，所以公共弦平分線段

∴

∴∴公共弦長(zhǎng)為

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【題目】給定公差大于0的有限正整數(shù)等差數(shù)列，其中，為質(zhì)數(shù)．甲、乙兩人輪流從個(gè)石子中取石子，規(guī)定：每次每人可取個(gè)石子，取走的石子不再放回，甲先取，取到最后一個(gè)石子者為勝．試問(wèn)：誰(shuí)有必勝策略？

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【題目】已知函數(shù)，函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)一切的，都有恒成立；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，有最小值，記的最小值為，證明：．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和．

（1）求的取值范圍；

（2）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓C：的離心率為，并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，)，直線l的方程為x＝4．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知橢圓內(nèi)一點(diǎn)E(1，0)，過(guò)點(diǎn)E作一條斜率為k的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得k1＋k2＝k3？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知雙曲線的兩條漸近線分別為.為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)(分別在第一四象限)，且的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某種常見(jiàn)疾病可分為Ⅰ、Ⅱ兩種類型.為了解該疾病類型與地域、初次患該疾病的年齡（以下簡(jiǎn)稱初次患病年齡）的關(guān)系，在甲、乙兩個(gè)地區(qū)隨機(jī)抽取100名患者調(diào)查其疾病類型及初次患病年齡，得到如下數(shù)據(jù)：

（1）從Ⅰ型疾病患者中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其初次患病年齡小于40歲的概率；

（2）記“初次患病年齡在的患者為“低齡患者”，初次患病年齡在的患者為“高齡患者”，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，解決以下問(wèn)題：

將以下兩個(gè)列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷“地域”“初次患病年齡”這兩個(gè)變量中哪個(gè)變量與該疾病的類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大.（直接寫出結(jié)論，不必說(shuō)明理由）

（ii）記（i）中與該疾病的類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大的變量為，問(wèn)：是否有99.9%的把握認(rèn)為“該疾病的類型與有關(guān)？”

附：

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的普通方程為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（I）求的參數(shù)方程與的直角坐標(biāo)方程；

（II）射線與交于異于極點(diǎn)的點(diǎn),與的交點(diǎn)為,求.

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