Question

甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個球，乙袋中共有2m個球，從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為，從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P₂．
（1）若m=10，求甲袋中紅球的個數(shù)；
（2）若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個紅球的概率是，求P₂的值；
（3）設(shè)P₂=，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次．設(shè)ξ表示摸出紅球的總次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)甲袋中紅球的個數(shù)為x，
∵從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為，
∴依題意得x=10×=4．

（Ⅱ）∵從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為，
∴甲袋中紅球的個數(shù)m，
∵從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P₂．
∴乙袋中有紅球2mp₂
由已知得：，
解得P₂=．

（Ⅲ）由題意知ξ表示摸出紅球的總次數(shù)，它的取值是0、1、2、3，
在兩個袋子中摸球相互之間沒有影響，所以是相互獨立事件同時發(fā)生，
∴，
，
，
．
∴ξ的分布列為

∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．
分析：（1）根據(jù)題意設(shè)甲袋中紅球的個數(shù)為x，從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為，根據(jù)等可能事件的概率求法做出紅球的個數(shù)．
（2）從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為，甲袋中紅球的個數(shù)m，從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P₂．乙袋中有紅球2mp₂，相加得到紅球總數(shù)，根據(jù)概率列出方程，得到結(jié)果．
（3）由題意知ξ表示摸出紅球的總次數(shù)，它的取值是0、1、2、3，在兩個袋子中摸球相互之間沒有影響，所以是相互獨立事件同時發(fā)生，做出概率，列出分布列，算出期望．
點評：本題考查概率和期望以及它們的實際應(yīng)用，期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數(shù)，學習期望將為今后學習概率統(tǒng)計知識做鋪墊．