Question

【題目】已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的離心率是.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)，為橢圓上異于橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，記直線斜率分別為，若，請(qǐng)判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）過(guò)定點(diǎn)

【解析】

（1）由點(diǎn)M（﹣1，）在橢圓C上，且橢圓C的離心率是，列方程組求出a＝2，b，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y＝kx+m，聯(lián)立，得：（4k2+3）x2+8kmx+（4m2﹣12）＝0，利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件得直線PQ的方程過(guò)定點(diǎn)（1，0）；再驗(yàn)證直線PQ的斜率不存在時(shí)，同樣推導(dǎo)出x0＝1，從而直線PQ過(guò)（1，0）．由此能求出直線PQ過(guò)定點(diǎn)（1，0）．

（1）由點(diǎn)在橢圓上，且橢圓的離心率是，

可得，

可解得：

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

（�。┊�(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由題意知，直線方程和曲線方程聯(lián)立得：，，

（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，消去得：，

由，有，

由韋達(dá)定理得：，，

故，可得：，

可得：，

整理為：，

故有，

化簡(jiǎn)整理得：，解得：或，

當(dāng)時(shí)直線的方程為，即，過(guò)定點(diǎn)不合題意，

當(dāng)時(shí)直線的方程為，即，過(guò)定點(diǎn)，

綜上，由（ⅰ）（ⅱ）知，直線過(guò)定點(diǎn).