Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）上的動點到焦點距離的最小值為．以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點，P為橢圓上一點，且滿足+=t（O為坐標(biāo)原點）．當(dāng)|AB|= 時，求實數(shù)t的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知a-c=-1； …（2分）
又因為b==1，所以a²=2，b²=1． …（4分）
故橢圓C的方程為+y²=1． …（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0． …（7分）
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，∴k²． …（9分）
x₁+x₂=，x₁x₂=．
又由|AB|=，得|x₁-x₂|=，即 = …（11分）
可得 …（12分）
又由+=t，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），則=，= …（13分）
故，即16k²=t²（1+2k²）． …（14分）
得，t²=，即t=±． …（15分）
分析：（Ⅰ）利用橢圓C：+=1（a＞b＞0）上的動點到焦點距離的最小值為，可求a-c的值，利用直線與圓相切，可得b的值，由此可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及|AB|=，+=t，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．