Question

設(shè)拋物線C：y²=4x，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線L與C相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）設(shè)L的斜率為2，求|AB|的大小；
（2）求證：

OA

•

OB

是一個(gè)定值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得直線L的方程，與拋物線方程聯(lián)立并消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式即可得出；
（2）設(shè)直線L的方程為x=ky+1，與拋物線方程聯(lián)立并消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算即可得出．

解答：解：（1）依題意得F（1，0），∴直線L的方程為y=2（x-1），
設(shè)直線L與拋物線的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=2(x-1) y2=4x

消去y整理得x²-3x+1=0，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=1．
法一：|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

32-4•1

=5．
法二：|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=3+2=5．
（2）證明：設(shè)直線L的方程為x=ky+1，
設(shè)直線L與拋物線的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=ky+1 y2=4x

消去x整理得y²-4ky-4=0．
∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4，
∵

OA

•

OB

═（x₁，y₁）•（x₂，y₂）
=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+1）（ky₂+1）+y₁y₂
=k²y₁y₂+k（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-4k²+4k²+1-4=-3．
∴

OA

•

OB

是一個(gè)定值為-3．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線與拋物線的相交問題轉(zhuǎn)化為與拋物線方程聯(lián)立得到一元二次方程、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式數(shù)量積計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵．