Question

求下列函數(shù)值域：
（1）y=x-

2x-1

；
（2）y=

2x-1

x-2

，x∈[3，4]．

Answer 1

分析：（1）令t=

2x-1

，則t≥0且y=

1+t2

2

-t=

1

2

(t2-2t+1)=

1

2

(t-1)2，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求
（2）由y=

2x-1

x-2

=

2(x-2)+3

x-2

=2+

3

x-2

，結(jié)合x的范圍可求

解答：解：（1）y=x-

2x-1

令t=

2x-1

，則t≥0且x=

1+t2

2

∴y=

1+t2

2

-t=

1

2

(t2-2t+1)=

1

2

(t-1)2
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t=1即x=1時(shí)，函數(shù)有最小值0，沒有最大值
故函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞）
（2）∵y=

2x-1

x-2

=

2(x-2)+3

x-2

=2+

3

x-2

∵3≤x≤4
∴

1

2

≤

1

x-2

≤1
∴

7

2

≤2+

3

x-2

≤5
故函數(shù)的值域?yàn)閇

7

2

，5]

點(diǎn)評(píng)：本題（1）主要考查了利用換元法求解函數(shù)的值域，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題，關(guān)鍵是對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，或區(qū)間外（2）通過分離系數(shù)求解函數(shù)的值域