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已知數列{an}的前n項和為 Sn=
n+1
2
an
(n∈N*),且a1=2.數列{bn}滿足b1=0,b2=2,
bn+1
bn
=
2n
n-1
,n=2,3,….
(Ⅰ)求數列 {an} 的通項公式;
(Ⅱ)求數列 {bn} 的通項公式;
(Ⅲ)證明:對于 n∈N*,
2b1
a1
+
2b2
a2
+…+
2bn
an
2n-1-1
分析:(Ⅰ)利用Sn=
n+1
2
an
,可得2Sn=(n+1)an,再寫一式2Sn+1=(n+2)an+1,兩式相減可得
an+1
an
=
n+1
n
,利用疊乘法,可求數列 {an} 的通項公式;
(Ⅱ)根據b1=0,b2=2,
bn+1
bn
=
2n
n-1
,利用疊乘法,可求數列 {bn} 的通項公式;
(Ⅲ)先證明
2bk
ak
=2k-1(1-
1
k
)≥2k-2
,再利用等比數列的求和公式,即可得到結論.
解答:(Ⅰ)解:∵Sn=
n+1
2
an
,∴2Sn=(n+1)an①,∴2Sn+1=(n+2)an+1②,
∴①-②可得2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,
an+1
an
=
n+1
n

當n≥2時,an=a1×
a2
a1
×…×
an
an-1
=2n

∵a1=2
∴數列 {an} 的通項公式為an=2n;
(Ⅱ)解:∵b1=0,b2=2,
bn+1
bn
=
2n
n-1
,n≥2,
∴n≥3時,bn=b2×
b3
b2
×…×
bn
bn-1
=2n-1(n-1)

b1=0,b2=2滿足上式,
∴數列 {bn} 的通項公式為bn=2n-1(n-1);
(Ⅲ)證明:
2bk
ak
=2k-1(1-
1
k
)

當k≥2時,1-
1
k
≥ 1-
1
2
=
1
2

2bk
ak
=2k-1(1-
1
k
)≥2k-2

∵b1=0,
2b1
a1
+
2b2
a2
+…+
2bn
an
0+1+2+…+2n-2
=
2n-1-1
2-1
=2n-1-1
∴對于n∈N*
2b1
a1
+
2b2
a2
+…+
2bn
an
2n-1-1
點評:本題考查數列的通項,考查數列與不等式的綜合,考查疊乘法,考查等比數列的求和公式,綜合性強.
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