分析 (1)由題意:d<0,|a3|=|a9|,得:a3=-a9.
(2)需要對m和k的值進行討論.
解答 解:(1)∵等差數(shù)列{an}中,d<0,且|a3|=|a9|,可得a1+a11=a3+a9=0,
∴s11=11(a1+a11)2=11(a3+a9)2=0,
由于等差數(shù)列的前n項和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),它的圖象開口向下,對稱軸為n=5.5,
和橫軸有2個交點(0,0)、(11,0),如圖所示:
所以當n=5或n=6時Sn取最大值.
(2)不妨設 m<k,由Sm=Sk可得:am+1+…+ak=0,
分兩種情況討論:
①若m,k同為奇數(shù),則[(m+1+k)−1]2和[(m+1+k)+1]2是兩個連續(xù)整數(shù).
由于[(m+1+k)−1]2+[(m+1+k)+1]2=m+1+k,
從而a[(m+1+k)−1]2+a[(m+1+k)+1]2=a(m+1)+ak=0,
又d<0,{an}是遞減的,
從而a[(m+1+k)−1]2>0>a[(m+1+k)+1]2,
故前[(m+1+k)−1]2項和最大.
②若m,k一奇一偶,則(m+1+k)2為整數(shù),
于是a(m+1)+ak=2a(m+1+k)2=0,
此時,前(m−1+k)2與(m+1+k)2項的和相等且最大.
故前(m−1+k)2與(m+1+k)2項的和最大.
點評 等差數(shù)列的前n項和是一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)形式,所以具有對稱性,根據(jù)對稱性可輕松解決此類問題.
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A. | \frac{1}{3} | B. | \frac{1}{2} | C. | \frac{2}{3} | D. | \frac{3}{4} |
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