Question

 

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，如果為常數(shù)，則稱數(shù)列為“科比數(shù)列”．

（Ⅰ）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為零，若為“科比數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，前項(xiàng)和為，若對(duì)任意 都成立，試推斷數(shù)列是否為“科比數(shù)列”？并說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因?yàn)?sub>，則

，即.       （2分）

整理得，.                                       （3分）

因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)上式恒成立，則，解得.            （5分）

故數(shù)列的通項(xiàng)公式是.                                           （6分）

（Ⅱ）由已知，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?sub>，所以.                 （7分）

 當(dāng)時(shí)，，.

兩式相減，得.

因?yàn)?sub>，所以=.                                     （9分）

顯然適合上式，所以當(dāng)時(shí)，.

于是.

因?yàn)?sub>，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.

所以不為常數(shù)，故數(shù)列不是“科比數(shù)列”.          （13分）