Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-4，0≤x＜4}\\{lo{g}_{2}（x-2）+2，4≤x≤6}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，當(dāng)0≤x₁＜4≤x₂≤6時，f（x₁）=f（x₂），則x₁f（x₂）的取值范圍是[$\frac{21}{2}$，16）．

Answer 1

分析 先求出x₁的范圍，再將x₁f（x₂）轉(zhuǎn)化為x的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性確定x₁f（x₂）的取值范圍．

解答 解：∵存在x₁，x₂∈R，當(dāng)0≤x₁＜4≤x₂≤6時，f（x₁）=f（x₂），
∴l(xiāng)og₂（4-2）+2=3，log₂（6-2）+2=4，
∴3≤2x₁-4＜4，
∴$\frac{7}{2}$≤x₁＜4
∵f（x₁）=2x₁-4，f（x₁）=f（x₂）
∴x₁f（x₂）=x₁f（x₁）=x₁（2x₁-4）=2x₁²-4x₁=2（x₁-1）²-4，
∴y=（x₁-2）²-4，在[$\frac{7}{2}$，4）為增函數(shù)，
∴y∈[$\frac{21}{2}$，16）
故答案為：[$\frac{21}{2}$，16）

點評 本題考查分段函數(shù)，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵所在，屬于中檔題．