Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx-mx+m．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)f（x）求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)中m進(jìn)行分類(lèi)討論，由此得到單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）借助（Ⅰ），對(duì)m進(jìn)行分類(lèi)討論，由最大值小于等于0，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題．

解答 解：（Ⅰ）${f^'}（x）=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}（x∈（0，+∞））$，
當(dāng)m≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)m＞0時(shí)，由${f^'}（x）=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}＞0$，得$x∈（0，\frac{1}{m}）$，
由${f^'}（x）=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}＜0$，得$x∈（\frac{1}{m}，+∞）$，
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$x∈（0，\frac{1}{m}）$，單調(diào)遞減區(qū)間為$（\frac{1}{m}，+∞）$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上遞增，f（1）=0，顯然不成立；
當(dāng)m＞0時(shí)，$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{m}）=ln\frac{1}{m}-1+m=m-lnm-1$
只需m-lnm-1≤0即可，令g（x）=x-lnx-1，
則${g^'}（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，x∈（0，+∞）
得函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）_min=g（1）=0，g（x）≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
也就是m-lnm-1≥0對(duì)m∈（0，+∞）恒成立，
∴m-lnm-1=0，解得m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)求導(dǎo)，分類(lèi)討論，構(gòu)造新函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題．