Question

19.如題(19)圖,在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,AA₁=2,AB=1,∠ABC=90°;點(diǎn)D、E分別在BB₁、A₁D上，且B₁E⊥A₂D，四棱錐C-ABDA₁與直三棱柱的體積之比為3：5.

            題(19)圖

(Ⅰ)求異面直線DE與B₁C₁的距離;

(Ⅱ)若BC=,求二面角A₁-DC₁-B₁的平面角的正切值.

Answer 1

解法一:

(Ⅰ)因B₁C₁⊥A₁B₁,且B₁C₁⊥BB₁,故B₁C₁⊥面A₁ABB₁,從而B(niǎo)₁C₁⊥B₁E,又B₁E⊥DE,故B₁E是異面直線B₁C₁與DE的公垂線.

設(shè)BD的長(zhǎng)度為x，則四棱椎C-ABDA₁的體積V₁為

V₁=·BC=（DB+A₁A）·AB·BC

 =（x+2）·BC.

第（19）圖1

而直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V₂為

V₂=S_△ABC·AA₁=AB·BC·AA₁=BC.

由已知條件V₁:V₂=3:5,故(x+2)=,解

之得x=.

從而B(niǎo)₁D=B₁B-DB=2-.

在直角三角形A₁B₁D中,A₁D=,

又因A₂D·B₁E=A₁B₁·B₁D，

故B₁E=.

(Ⅱ)如圖(19)圖1,過(guò)B₁作B₁F⊥C₁D,垂足為F,連續(xù)A₁F,因?yàn)锳₁B₁⊥B₁C₁,A₁B₁⊥B₁D,故A₁B₂⊥面B₁DC₁.由三垂線定理知C₁D⊥A₁F,故∠A₂FB₁為所求二面角的平面角.

在直角△C₁B₁D中,C₁D=,

又因C₁D·B₁F=B₁C₁·B₁D，故

B₁F=,所以tan∠A₁FB₁=.

解法二

（1）如答（19）圖2，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則B（0，0，0），B₃（0，0，2），A（0，1，0），A₁（0，1，2），則=（0，0，2）.=(0,-1,0).

設(shè)C₁(a,0,2),則=(a,0,0).

答（19）圖2

又設(shè)E(0,y₀,z₀),則=(0,y₀,z₀-2),

從而·=0，即⊥.

又⊥,所以B₁E是異面直線B₁C1與DE的公垂線.

下面求點(diǎn)D的坐標(biāo).

設(shè)D(0,0,z),則(0,0,z).

因四棱錐C-ABDA₁的體積V₁為

V₁=

  =(z+2)·1·|.|

而直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V₂為

V₂=S_△ABC·||=||·||·||=||.

由已知條件V₁:V₂=3:5,故(z+2)=,解得z=,即D(0,0,).

從而(0,0,), =(0,1,), =(0,y₀,z₀-)

接下來(lái)再求點(diǎn)E的坐標(biāo).

由B₁E⊥DA₁,有·=0，即y₀+(z₀-2)=0  (1)

又由得                 (2)

聯(lián)立（1）、（2），解得y₀=,z₀=,即E=(0,,),得=（0，,）.

故||=.

(Ⅱ)由已知BC=，則C₁(，0，2)，從而DC₁=(，0，).過(guò)B₁作B₁F⊥C₁D，垂足為F，連接A₁F.

設(shè)F(x₁，0，z₁)，則=(x₁，0，z₁-2)，因?yàn)?SUB>·=0，故x₁+z₁-=0…①

因=(x₁，0，z₁)且得，即

x₁z₁+=0…②

聯(lián)立①②解得x₁=,z₁=，即F(，0，).

則=(，-1，)，=(，0，)，

||=.

又·=·+(-1)·0·=0，故A₁F⊥DC₁，因此∠A₁FB₁為所示二面角的平面角，又=(0，-1，0)，從而·=0，故事片A₁B₁⊥B₁F，

△A₁B₁F為直角三角形，所以

tan∠A₁FB₁=.