Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中 AD=AA₁=1，AB=2  
（1）證明：當(dāng)點(diǎn)E在棱AB移動(dòng)時(shí)，D₁E⊥A₁D；
（2）（理）在棱AB上是否存在點(diǎn)E，是二平面角D₁-EC-D的平面角為

π

6

？若存在，求出AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（文）在棱AB上否存在點(diǎn)E使CE⊥面D₁DE若存在，求出AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AD₁，由EA⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁，證出A₁D⊥EA，再在正方形ADD₁A₁得出A₁D⊥AD₁，證出A₁D⊥平面AD₁E后可證D₁E⊥A₁D．
（2）（理）存在．連接DE，過D作DH⊥EC，交EC于H，連接D₁H，則∠D₁HD為二面角D₁-EC-D的平面角，即∠D₁HD=

π

6

，設(shè)AE=x（0≤x≤2），在RT△D₁DH中利用tan

π

6

=

D1D

DH

，列出方程

2

1+(2-x)2

=

3

3

，考察方程的解得情況作出回答．
（文）存在點(diǎn)E．設(shè)AE=x（0≤x≤2），則BE=2-x，在RT△DEC中由勾股定理列出關(guān)于x的方程，考察方程的解得情況作出回答．

解答：（1）證明：連接AD₁，由長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征，EA⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁，∴A₁D⊥EA，
由AD=AA₁=1，則四邊形ADD₁A₁是正方形，∴A₁D⊥AD₁，
又∵EA∩AD₁=A，∴A₁D⊥平面AD₁E，
∵D₁E?平面AD₁E，
∴D₁E⊥A₁D．
（2）解：存在點(diǎn)E，使二平面角D₁-EC-D的平面角為

π

6

，此時(shí)AE=2-

3

3

．
連接DE，過D作DH⊥EC，交EC于H，連接D₁H，
在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，EC?平面ABCD，
∴DD₁⊥EC，又∵DH∩DD₁=D，
∴EC⊥平面D₁DH，∵D₁H?平面D₁DH，∴EC⊥D₁H，
∴∠D₁HD為二面角D₁-EC-D的平面角，即∠D₁HD=

π

6

設(shè)AE=x（0≤x≤2），則EB=2-x，進(jìn)而EC=

1+(2-x)2

，
在△DEC中，利用面積相等的關(guān)系有：EC×DH=CD×AD，
DH=

2

1+(2-x)2

，在RT△D₁DH中，
∵∠D₁HD=

π

6

，
∴tan

π

6

=

D1D

DH

，即

2

1+(2-x)2

=

3

3

解得x=2-

3

3

（0≤x≤2），所以存在點(diǎn)E，使二平面角D₁-EC-D的平面角為

π

6

，此時(shí)AE=2-

3

3

．
（文）存在點(diǎn)E．此時(shí)E為AB中點(diǎn)．CE⊥面D₁DE，
∴CE⊥DE，設(shè)AE=x（0≤x≤2），則BE=2-x，
由勾股定理得DE²=AD²+AE²=1+x²，CE²=CB²+BE²=1+（2-x）²，在RT△DEC中，CD²=DE²+CE²=，4=1+x²+1+（2-x）²，
整理化簡(jiǎn)得出x²-2x+1=0，x=1，此時(shí)E為AB中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考察直線和直線、直線和平面垂直關(guān)系，二面角的大小度量及應(yīng)用，考查方程思想，空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．