Question

若數(shù)列{a_n}滿足前n項(xiàng)之和S_n=2a_n-4（n∈N^*），b_n+1=a_n+2b_n，且b₁=2．
（1）求證數(shù)列為等差數(shù)列；�。�2）求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-4
∴a₁=4
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-2a_n-1+4
即a_n=2a_n-1
∴
∴a_n=2ⁿ⁺¹
b_n+1=2ⁿ⁺¹+2b_n
∴
又
∴
∴b_n=n•2ⁿ（n∈N^*）
（2）T_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ
2T_n=1×2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減得 T_n=-2-2²-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
==（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）．
分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-4可求a₁=4，當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-2a_n-1+4即a_n=2a_n-1，可得a_n，代入已知遞推公式可證
（2）T_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ，考慮利用錯(cuò)位相減可求T_n
點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造等差及等比數(shù)列進(jìn)行求解，要注意對錯(cuò)位相減求解數(shù)列和的方法的掌握，這是數(shù)列求和中的重點(diǎn)和難點(diǎn)．