Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x，過(guò)點(diǎn)A（1，m）（m≠-2）可作曲線(xiàn)y=f（x）的三條切線(xiàn)，則m的取值范圍

1. A.
   （-3，-2）
2. B.
   （-2，3）
3. C.
   （-2，-1）
4. D.
   （-1，1）

Answer 1

A
分析：先將過(guò)點(diǎn)A（1，m）（m≠-2）可作曲線(xiàn)y=f（x）的三條切線(xiàn)轉(zhuǎn)化為：方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，記g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），下面利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的零點(diǎn)，從而求得m的范圍．
解答：由題意得：f′（x）=3x²-3，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則切線(xiàn)的斜率k=3x₀²-3==，
即2x₀³-3x₀²+m+3，由條件知該方程有三個(gè)實(shí)根，
∴方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
記g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）
令g'（x）=0，x=0或1，
則x，g'（x），g（x）的變化情況如下表
x（-∞，0）0（0，1）1（1，+∞）g'（x）+0-0+g（x）遞增極大遞減極小遞增當(dāng)x=0，g（x）有極大值m+3；x=1，g（x）有極小值m+2，
由題意有，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，
函數(shù)g（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，
此時(shí)過(guò)點(diǎn)A可作曲線(xiàn)y=f（x）的三條不同切線(xiàn)．故m的范圍是（-3，-2）．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．