Question

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的橢圓C．它的離心率為

1

2

且曲線C過(guò)點(diǎn)（0，

3

）．
（1）求橢圓C的方程．
（2）過(guò)點(diǎn)D（1，0）作一條直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．過(guò)A，B作直線x=4的垂線，垂足依次為M，N．求證：直線AN與BM交于定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由已知得

c a = 1 2 3 b2 =1 a2=b2+c2

，解出即可．
（2）直線AN與BM交于點(diǎn)P．當(dāng)AB⊥軸時(shí)，可得P(

5

2

，0)．
設(shè)過(guò)點(diǎn)D（1，0）的直線為y=k（x-1），與橢圓的方程聯(lián)立可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，得到根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)M（4，y₁），N（4，y₂），可得直線AN：y-y2=

y2-y1

4-x1

(x-4)，令y=0，化為x=

x1x2-5x1+4

x2-x1

．直線BM：y-y1=

y2-y1

x2-4

(x-4)，令y=0，化為x=

5x2-4-x1x2

x2-x1

．利用2x₁x₂+8-5（x₁+x₂）=0，可知直線AN與BM交于定點(diǎn)．

解答： （1）解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知得

c a = 1 2 3 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）證明：設(shè)過(guò)點(diǎn)D（1，0）的直線為y=k（x-1），
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵過(guò)點(diǎn)D（1，0）作一條直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，
∴△=（-8k²）²-4（3+4k²）（4k²-12）＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂）．
則x1+x2=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
過(guò)A，B作直線x=4的垂線，垂足依次為M，N．
則M（4，y₁），N（4，y₂），
∴直線AN：y-y2=

y2-y1

4-x1

(x-4)，令y=0，化為x=

x1y2-4y1

y2-y1

=

x1•k(x2-1)-4k(x1-1)

k(x2-x1)

=

x1x2-5x1+4

x2-x1

．
直線BM：y-y1=

y2-y1

x2-4

(x-4)，令y=0，化為x=

4y2-x2y1

y2-y1

=

5x2-4-x1x2

x2-x1

．
∵2x₁x₂+8-5（x₁+x₂）=

2(4k2-12)

3+4k2

+8-

40k2

3+4k2

=0，
∴

x1x2-5x1+4

x2-x1

=

5x2-4-x1x2

x2-x1

．
因此直線AN與BM交于定點(diǎn)P．
當(dāng)AB⊥軸時(shí)，可得P(

5

2

，0)．
即直線AN與BM交于定點(diǎn)P(

5

2

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．