Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（4a-3）x+3a，x＜0}\\{lo{g}_{a}（x+1）+1，x≥0}\end{array}\right.$（a＞0，且a≠1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f（x）|=2-x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{2}{3}$]
• B． [$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]∪{$\frac{3}{4}$}
• D． [$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）∪{$\frac{3}{4}$}

Answer 1

分析 利用函數(shù)是減函數(shù)，根據(jù)對數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷出a的大致范圍，再根據(jù)f（x）為減函數(shù)，得到不等式組，利用函數(shù)的圖象，方程的解的個數(shù)，推出a的范圍．

解答 解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）遞減，則0＜a＜1，
函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-4a}{2}≥0}\\{0＜a＜1}\\{{0}^{2}+（4a-3）•0+3a≥lo{g}_{a}（0+1）+1}\end{array}\right.$；
解得，$\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{4}$；
由圖象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2-x有且僅有一個解，
故在（-∞，0）上，|f（x）|=2-x同樣有且僅有一個解，
當(dāng)3a＞2即a＞$\frac{2}{3}$時，聯(lián)立|x²+（4a-3）x+3a|=2-x，
則△=（4a-2）²-4（3a-2）=0，
解得a=$\frac{3}{4}$或1（舍去），
當(dāng)1≤3a≤2時，由圖象可知，符合條件，
綜上：a的取值范圍為[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]∪{$\frac{3}{4}$}，
故選：C．

點評 本題考查了方程的解個數(shù)問題，以及參數(shù)的取值范圍，考查了學(xué)生的分析問題，解決問題的能力，以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．