Question

【題目】如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，F(xiàn)B=FC，∠BFC=90°，AE= ，H是BC的中點(diǎn)．

（1）求證：FH∥平面BDE；
（2）求證：AB⊥平面BCF；
（3）求五面體ABCDEF的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，AC與BD相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，連接OH，EO，

∵H是BC的中點(diǎn)，

∴OH∥AB，

∵EF∥平面ABCD，EF平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，

∴EF∥AB．

∵EF=1，

∴OH∥EF，OH=EF．

∴四邊形EOHF是平行四邊形．

∴EO∥FH，EO=FH．

∵EO平面BDE，F(xiàn)H平面BDE，

∴FH∥平面BDE

（2）證明：取AB的中點(diǎn)M，連接EM，則AM=MB=1，

由（1）知，EF∥MB，且EF=MB，

∴四邊形EMBF是平行四邊形．

∴EM∥FB，EM=FB．

在Rt△BFC中，F(xiàn)B2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得 ．

∴ ．

在△AME中， ，AM=1， ，

∴AM2+EM2=3=AE2．

∴AM⊥EM．

∴AM⊥FB，即AB⊥FB．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB⊥BC．

∵FB∩BC=B，F(xiàn)B平面BCF，BC平面BCF，

∴AB⊥平面BCF

（3）解：連接EC，

在Rt△BFC中， ，

∴EO=FH=1．

由（2）知AB⊥平面BCF，且EF∥AB，

∴EF⊥平面BCF．

∵FH⊥平面ABCD，EO∥FH，

∴EO⊥平面ABCD．

∴四棱錐E﹣ABCD的體積為V1═ ．

∴三棱錐E﹣BCF的體積為 = ．

∴五面體ABCDEF的體積為 ．

【解析】（1）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，連接OH，EO，通過證明四邊形EOHF是平行四邊形，證明FH∥平面EDB；（2）先證明出四邊形EMBF是平行四邊形，推斷出EM∥FB，EM=FB．進(jìn)而在Rt△BFC中求得EM，在△AEM中，根據(jù)邊長(zhǎng)推斷出AM2+EM2=3=AE2 ， 進(jìn)而證明出AM⊥EM．然后證明出四邊形ABCD是正方形，進(jìn)而推斷出AB⊥BC．最后通過線面垂直的判定定理證明出AB⊥平面BCF；（3）求出四棱錐E﹣ABCD的體積為V1═ ，三棱錐E﹣BCF的體積為 = ，即可求出五面體ABCDEF的體積．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．