已知△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,向量
m
=(4,-1),
n
=(cos2
A
2
,cos2A),且
m
n
=
7
2

(1)求角A的大;
(2)若a=
3
,試判斷b×c取得最大值時△ABC形狀.
分析:(1)利用已知計算
m
n
,然后令它等于
7
2
,可求A的值.
(2)利用余弦定理,求得bc的關系,再用基本不等式和最大值,判定三角形的形狀.
解答:解:(1)由
m
 =(4,-1) , 
n
=(cos
A
2
,cos2A)

m
n
=4cos2
A
2
-cos2A
(1分)
=4-
1+cosA
2
-(2cos2A-1)
=-2cos2A+2cosA+3(3分)
又因為
m
n
=
7
2
.所以-2cos2A+2cosA+3 =
7
2

解得cosA=
1
2
(5分)
∵<A<π,∴A=
π
3
(6分)
(2)在△ABC中a2=b2+c2-2bccosA且a=
3
,
∴(
3
)2=b2+c2-bc.(8分)
∵b2+c2≥2bc,∴3≥2bc-bc
即 bc≤3當且僅當  b=c=
3
時,bc取得最大值,(10分)
又由(1)知  A=60°∴B=C=60°
故 bc取得最大值時,△ABC為等邊三角形.(12分)
點評:本題考查平面向量數(shù)量積,余弦定理,三角函數(shù)的基本關系式,是中檔題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知△ABC的三個頂點的A、B、C及平面內一點P滿足
PA
+
PB
+
PC
=
AB
,下列結論中正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知△ABC的三個頂點A、B、C及平面內一點P,若
PA
+
PB
+
PC
=
AB
,則點P與△ABC的位置關系是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知△ABC的三個頂點ABC及平面內一點P滿足:
PA
+
PB
+
PC
=
0
,若實數(shù)λ滿足:
AB
+
AC
=λ
AP
,則λ的值為(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(1,3)、B(3,1)、C(-1,0),求BC邊上的高所在的直線方程.
(2)過橢圓
x2
16
+
y2
4
=1
內一點M(2,1)引一條弦,使得弦被M點平分,求此弦所在的直線方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知△ABC的三個頂點A,B,C及平面內一點P滿足:
PA
+
PB
+
PC
=
0
,若實數(shù)λ 滿足:
AB
+
AC
AP
,則λ的值為(  )
A、3
B、
2
3
C、2
D、8

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