Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，D，E分別為BC，BB₁的中點，四邊形B₁BCC₁是邊長為6的正方形．
（1）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（2）求證：CE⊥平面AC₁D；
（3）求平面CAC₁與平面AC₁D的夾角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連接A₁C與AC₁，交于O點，連接OD，由三角形中位線定理得OD∥A₁B，由此能證明A₁B∥平面AC₁D．
（2）由線在垂直得BB₁⊥AD，由等腰三角形性質得AD⊥BC，從而AD⊥平面B₁BCC₁，進而AD⊥EC，由Rt△CBE≌Rt△CC₁D，得∠C₁DC+∠BCE=90°，從而C₁D⊥CE，由此能證明CE⊥平面AC₁D．
（3）以BC₁的中點G為原點，建立空間直角坐標系，分別求出平面AC₁D的一個法向量和平面AC₁C的一個法向量，利用向量法能求出平面CAC₁與平面AC₁D的夾角的余弦值．

解答： （1）證明：連接A₁C與AC₁，交于O點，連接OD，
∵O，D分別為A₁C和BC的中點，
∴OD∥A₁B．又OD?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D．（3分）
（2）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
BB₁⊥平面ABC，又AD?平面ABC，
∴BB₁⊥AD，∵AB=AC，D為BC中點，∴AD⊥BC，
∵BB₁∩BC=B，∴AD⊥平面B₁BCC₁，
又CE?平面B₁BCC₁，∴AD⊥EC，
∴Rt△CBE≌Rt△CC₁D，∴∠C₁CE=∠BCE，
∴∠C₁DC+∠BCE=90°，
∴C₁D⊥CE，又AD∩C₁D=D，
∴CE⊥平面AC₁D．（6分）
（3）解：以BC₁的中點G為原點，建立空間直角坐標系．
則A（0，6，4），E（3，3，0），C（-3，6，0），C₁（-3，0，0）．
由（2）知

CE

=（6，-3，0）為平面AC₁D的一個法向量．
設

n

=（x，y，z）為平面AC₁C的一個法向量，

AC

=（-3，0，-4），

CC1

=（0，-6，0），
由

n • AC =-3x-4z=0 n • CC1 =-6y=0

，得

n

=（1，0，-

3

4

），（9分）
而|cos＜

CE

，

n

＞|=|

CE • n

| CE |•| n |

|=

8 5

25

，
∴平面CAC₁與平面AC₁D的夾角的余弦值為

8 5

25

．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運用．