Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足8Sn=an2+4an+3，且a₂是a₁和a₇的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{

a

n

}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）符號(hào)[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，記bn=[log2(

an+3

4

)]，求b1+b2+b3+…b2n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）在給出的數(shù)列遞推式中，取n=n-1得另一遞推式，兩式作差后整理，得到（a_n-a_n-1-4）（a_n+a_n-1）=0，結(jié)合已知進(jìn)一步得到a_n-a_n-1=4，再由已知遞推式求出首項(xiàng)，取符合a₂是a₁和a₇的等比中項(xiàng)的值，然后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{

a

n

}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把數(shù)列{

a

n

}的通項(xiàng)公式代入bn=[log2(

an+3

4

)]，依據(jù)[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)得到b₁，b₂，…，b2n的值，總結(jié)規(guī)律后利用錯(cuò)位相減法求b1+b2+b3+…b2n．

解答： 解：（Ⅰ）由8Sn=an2+4an+3 ①
得8Sn-1=an-12+4an-1+3 (n≥2，n∈N) ②
①-②得：8a_n=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）+4a_n-4a_n-1，
整理得：（a_n-a_n-1-4）（a_n+a_n-1）=0（n≥2，n∈N），
∵{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，
∴a_n+a_n-1＞0，則a_n-a_n-1=4（n≥2，n∈N），
∴{a_n}為公差為4的等差數(shù)列，
由8a1=a12+4a1+3，得a₁=3或a₁=1，
當(dāng)a₁=3時(shí)，a₂=7，a₇=27，不滿(mǎn)足a₂是a₁和a₇的等比中項(xiàng)．
當(dāng)a₁=1時(shí)，a₂=5，a₇=25，滿(mǎn)足a₂是a₁和a₇的等比中項(xiàng)．
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3；
（Ⅱ） 由a_n=4n-3，得bn=[log2(

an+3

4

)]=[log2n]，
由符號(hào)[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)知，當(dāng)2^m≤n＜2^m+1時(shí)，[log₂n]=m，
令S=b1+b2+b3+…b2n=[log21]+[log22]+[log23]+…[log22n]
=0+1+1+2+…+3+…+4+…+n-1+…+n
∴S=1×2¹+2×2²+3×2³+4×2⁴+（n-1）×2^n-1+n ①
2S=1×2²+2×2³+3×2⁴+4×2⁵+（n-1）×2ⁿ+2n ②
①-②得：

-S=2+22+23+24+…+2n-1-(n-1)2n-n

=

2(1-2n-1) 1-2 -(n-1)2n-n=(2-n)2n-n-2

，
∴S=（n-2）2ⁿ+n+2，
即b1+b2+b3+…b2n=（n-2）2ⁿ+n+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的和的求法，解答的關(guān)鍵是對(duì)b_n的值的規(guī)律總結(jié)，是中檔題．