Question

如圖，母線長為2的圓錐PO中，已知AB是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB弧上，D為AC的中點(diǎn)．
（1）求圓錐PO的表面積；
（2）證明：平面ACP⊥平面POD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）圓錐PO的表面積為S_側(cè)+S_底；
（2）利用OA=OC，D為AC的中點(diǎn)，證明AC⊥OD，利用PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，證明PO⊥AC，從而AC⊥平面POD，即可證明平面ACP⊥平面POD．

解答： （1）解：由已知圓錐PO的表面積為S_側(cè)+S_底=2π+π=3π；
（2）證明：連接OC，在△AOC中，
因?yàn)镺A=OC，D為AC的中點(diǎn)，
所以AC⊥OD，
又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，
所以PO⊥AC
因?yàn)镈O、PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，
所以AC⊥平面POD，
又因?yàn)锳C?平面ACP，
所以平面ACP⊥平面POD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐PO的表面積，考查線面、面面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用線面、面面垂直的判定定理是關(guān)鍵．