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4.已知公差不為零的等差數(shù)列{an},滿足a1+a3+a5=9,且a1,a4,a16成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=1anan+1an+2,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

分析 (Ⅰ)由a1+a3+a5=9可得a3=3,再由等比數(shù)列知(3+d)2=(3-2d)(3+13d),從而解得;
(II)由(Ⅰ)得bn=1anan+1an+2=1nn+1n+2=121nn+11n+1n+2,從而利用裂項(xiàng)求和法求得.

解答 解:(Ⅰ)∵a1+a3+a5=9,
∴3a3=9,∴a3=3.
∵a1,a4,a16成等比數(shù)列,
a42=a1a16,
∴(3+d)2=(3-2d)(3+13d),∵d≠0,
∴d=1,
∴an=a3+(n-3)d=3+(n-3)=n;
(II)由(Ⅰ)得,bn=1anan+1an+2=1nn+1n+2=121nn+11n+1n+2,
Sn=b1+b2++bn=12[11×212×3+12×313×4++1nn+11n+1n+2]
=12[121n+1n+2]=1412n+1n+2

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等比差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于中檔題.

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