分析 取線段AB的中點H,由向量共線定理,可得P在線段CH上,運用等腰三角形的性質(zhì)可得P在中線CH上,求得BC,以C為原點,BC所在直線為x軸,AC所在直線為y軸,建立直角坐標系,可得A(0,2),B(-2√3,0),C(0,0),H(-√3,1),可得直線CH的方程,設出P的坐標,求得向量PA,PB,PC的坐標,運用向量的數(shù)量積的坐標表示,結合二次函數(shù)的最值求法,可得最小值.
解答 解:由→AP=x→AC+y→AB,x+2y=1,(x≥0,y≥0),
可得→AP=x→AC+2y•12→AB,
取線段AB的中點H,由向量共線定理,可得P在線段CH上,
由AH=AC=2,可得P為CH的中點時,即有AP⊥CH,
此時AP的長取得最小值√3,可得CH=2,
在△ABC中,AB=4,AC=2,∠BAC=60°,
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos60°
=16+4-2×4×2×12=12,
即有BC=2√3,
以C為原點,BC所在直線為x軸,AC所在直線為y軸,
建立直角坐標系,
可得A(0,2),B(-2√3,0),C(0,0),H(-√3,1),
直線CH的方程為y=-√33x,可設P(m,-√33m),m≤0,
則→PA=(-m,2+√33m),→PB=(-2√3-m,√33m),→PC=(-m,√33m),
可得→PA•(→PB+→PC)=(-m,2+√33m)•(-2√3-2m,2√33m)
=2√3m+2m2+4√33m+23m2=83m2+10√33m
=83(m+5√38)2-258.
當m=-5√38時,取得最小值-258.
故答案為:-258.
點評 本題考查向量數(shù)量積的最值的求法,注意轉化為二次函數(shù)的最值求法,同時考查向量共線定理和化簡整理的運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 12 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 4 |
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