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11.已知△ABC中,AC=2,AB=4,點P滿足AP=xAC+yAB,x+2y=1(x≥0,y≥0),且|AP|的最小值為3,則PA•(PB+PC)的最小值=-258

分析 取線段AB的中點H,由向量共線定理,可得P在線段CH上,運用等腰三角形的性質(zhì)可得P在中線CH上,求得BC,以C為原點,BC所在直線為x軸,AC所在直線為y軸,建立直角坐標系,可得A(0,2),B(-23,0),C(0,0),H(-3,1),可得直線CH的方程,設出P的坐標,求得向量PA,PB,PC的坐標,運用向量的數(shù)量積的坐標表示,結合二次函數(shù)的最值求法,可得最小值.

解答 解:由AP=xAC+yAB,x+2y=1,(x≥0,y≥0),
可得AP=xAC+2y•12AB
取線段AB的中點H,由向量共線定理,可得P在線段CH上,
由AH=AC=2,可得P為CH的中點時,即有AP⊥CH,
此時AP的長取得最小值3,可得CH=2,
在△ABC中,AB=4,AC=2,∠BAC=60°,
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos60°
=16+4-2×4×2×12=12,
即有BC=23,
以C為原點,BC所在直線為x軸,AC所在直線為y軸,
建立直角坐標系,
可得A(0,2),B(-23,0),C(0,0),H(-3,1),
直線CH的方程為y=-33x,可設P(m,-33m),m≤0,
PA=(-m,2+33m),PB=(-23-m,33m),PC=(-m,33m),
可得PA•(PB+PC)=(-m,2+33m)•(-23-2m,233m)
=23m+2m2+433m+23m2=83m2+1033m
=83(m+5382-258
當m=-538時,取得最小值-258
故答案為:-258

點評 本題考查向量數(shù)量積的最值的求法,注意轉化為二次函數(shù)的最值求法,同時考查向量共線定理和化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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