已知a為給定的正實數(shù),m為實數(shù),函數(shù)f (x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1.
(Ⅰ)若f(x)在(0,3)上無極值點,求m的值;
(Ⅱ)若存在x0∈(0,3),使得f(x0)是f(x)在[0,3]上的最值,求m的取值范圍.
(Ⅰ)a;(Ⅱ)m≤或m≥.
【解析】
試題分析:(Ⅰ) 求原函數(shù)的導函數(shù),則導函數(shù)恒大于等于0,即可得所求;(Ⅱ)由(Ⅰ)知導函數(shù)時等于0,則為函數(shù)的極值,要使有最值,再看導函數(shù)為0時的另外一個根的范圍,然后分情況討論:①時,顯然為最值;②時,先求(0,3)上的極值,然后再與端點函數(shù)值比較滿足題意求m;③時,先求(0,3)上的極值,然后再與端點函數(shù)值比較滿足題意求m,綜合①②③可得m的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)由題意得f′(x)=3ax2-6(m+a)x+12m=3(x-2)(ax-2m),
由于f(x)在(0,3)上無極值點,故=2,所以m=a. 5分
(Ⅱ)由于f′(x)=3(x-2)(ax-2m),故
(i)當≤0或≥3,即m≤0或m≥a時,
取x0=2即滿足題意.此時m≤0或m≥a.
(ii)當0<<2,即0<m<a時,列表如下:
x |
0 |
(0,) |
(,2) |
2 |
(2,3) |
3 |
|
f ′(x) |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f (x) |
1 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
9m+1 |
故f(2)≤f(0)或f()≥f(3),
即-4a+12m+1≤1或+1≥9m+1,
即3m≤a或≥0,
即m≤或m≤0或m=.此時0<m≤.
(iii)當2<<3,即a<m<時,列表如下:
x |
0 |
(0,2) |
2 |
(2,) |
(,3) |
3 |
|
f ′(x) |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(x) |
1 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
9m+1 |
故f()≤f(0)或f(2)≥f(3),
即+1≤1或-4a+12m+1≥9m+1,
即≤0或3m≥4a,
即m=0或m≥3a或m≥.
此時≤m<.
綜上所述,實數(shù)m的取值范圍是m≤或m≥. 14分
考點:1、導函數(shù)的性質(zhì);2、利用導函數(shù)求極值;3、分類討論法.
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