Question

設(shè)有兩個命題：p：不等式|x|+|x-1|≥m的解集為R；q：函數(shù)f（x）=-（7-3m）^x是減函數(shù)．若這兩個命題中有且只有一個真命題，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：轉(zhuǎn)化思想,簡易邏輯

分析：可以先考慮p，q均為真命題，求出m的范圍，再由這兩個命題中有且只有一個真命題得p，q一真一假，列出不等式組，解出它們，求并即可．

解答： 解：若p為真命題，令y=|x|+|x-1|，
則不等式|x|+|x-1|≥m的解集為R等價為m≤y_min，
∵y=

1-2x，x＜0 1，0≤x≤1 2x-1，x＞1

∴y_min=1，即m≤1．
或由y=|x|+|x-1|≥|x-（x-1）|=1，即y_min=1．
∴m≤1．
若q為真命題，則由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得：
7-3m＞1，即m＜2．
由于這兩個命題中有且只有一個真命題，
故p，q一真一假．
若p真q假，則m

m≤1 m≥2

則m∈∅，
若p假q真，則

m＞1 m＜2

，解得1＜m＜2．
綜上所述，實數(shù)m的范圍是：1＜m＜2．

點評：本題以命題的真假為載體，考查絕對值函數(shù)的最值和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，注意掌握不等式恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，這是一道基礎(chǔ)題．