Question

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)起開(kāi)始，每一項(xiàng)的平方與它前一項(xiàng)的平方的差都是同一個(gè)常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公方差．
（1）若數(shù)列{b_n}是等方差數(shù)列，b₁=1，b₂=3，求b₇；
（2）是否存在一個(gè)非常數(shù)數(shù)列的等差數(shù)列或等比數(shù)列，同時(shí)也是等方差數(shù)列？若存在，求出這個(gè)數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）若正項(xiàng)數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2、公方差為4的等方差數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為T_n，是否存在正整數(shù)p，q，使不等式對(duì)一切n∈N^*都成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等方差數(shù)列的定義求出公方差，即可求得b₇的值；
（2）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)a_n=an+b（a，b∈R），利用{a_n}也是等方差數(shù)列，應(yīng)有（k為與n無(wú)關(guān)的常數(shù)），從而可得a_n=b必為一常數(shù)數(shù)列；若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，利用{a_n}也是等方差數(shù)列，應(yīng)有（k為與n無(wú)關(guān)的常數(shù)），可得q=±1，再驗(yàn)證即可；
（3）先求數(shù)列的前n項(xiàng)和，再假設(shè)存在正整數(shù)p，q，使不等式對(duì)一切n∈N^*都成立，猜想p=q=1，再進(jìn)行證明．
解答：解：（1）由{b_n}是等方差數(shù)列，b₁=1，b₂=3，有公方差d=3²-1²=8，------（1分）
于是，∴b₇=±7------------------------------（3分）
（2）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)a_n=an+b（a，b∈R），則，
要使{a_n}也是等方差數(shù)列，應(yīng)有（k為與n無(wú)關(guān)的常數(shù)），得a²=0，即a=0，這時(shí)a_n=b必為一常數(shù)數(shù)列，因此不存在一個(gè)非常數(shù)數(shù)列的等差數(shù)列，同時(shí)也是等方差數(shù)列．-----（5分）
若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，設(shè)（q為公比且q≠0），則，
要使{a_n}也是等方差數(shù)列，應(yīng)有（k為與n無(wú)關(guān)的常數(shù)），即，所以必有q²=1，q=±1，----------（7分）
當(dāng)q=1時(shí)，數(shù)列{a_n}是常數(shù)數(shù)列，故舍去
當(dāng)q=-1時(shí)，所以存在一個(gè)非常數(shù)數(shù)列的等比數(shù)列，同時(shí)也是等方差數(shù)列，其公比q=-1．--（9分）
（3）由于{a_n}是首項(xiàng)為2，公方差為4的等方差數(shù)列，∴，
∴，------（10分）
∴數(shù)列的前n項(xiàng)和為：---（11分）
假設(shè)存在正整數(shù)p，q使不等式對(duì)一切n∈N^*都成立．
即
當(dāng)n=1時(shí)，，∴，又p，q為正整數(shù)，∴p=q=1．--（13分）
下證明：對(duì)一切n∈N^*都成立．
由于
所以．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確理解新定義是關(guān)鍵．