Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3，且a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₁₁成等比數(shù)列，當n≥11時，a_n＞0．
（Ⅰ）求證：當n≥11時，{a_n}成等差數(shù)列；
（Ⅱ）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用4S_n=a_n²+2a_n-3，再寫一式，兩式相減，利用當n≥11時，a_n＞0，即可得出{a_n}成等差數(shù)列；
（Ⅱ）確定首相，公比，分別求和，即可求{a_n}的前n項和S_n．

解答： （Ⅰ）證明：由4Sn=an2+2an-3，4Sn+1=an+12+2an+1-3，
兩式相減得4an+1=

a

2 n+1

-

a

2 n

+2an+1-2an，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0…（4分）
當n≥11時，a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，
∴當n≥11時，{a_n}成等差數(shù)列．                 …．（7分）
（Ⅱ）解：由4a1=a12+2a1-3，得a₁=3或a₁=-1
又a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₁₁成等比數(shù)列，
∴a_n+1+a_n=0（n≤10），q=-1，
而a₁₁＞0，∴a₁＞0，從而a₁=3．
∴an=

3(-1)n-1 (1≤n≤10) 2n-19 (n≥11)

，…．（11分）
∴Sn=

3 2 [1-(-1)n] (1≤n≤10) n2-18n+80 (n≥11)

．                      …．（14分）

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列遞推式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．