Question

在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（1，0），如圖所示：拋物線y=ax²-ax-2經(jīng)過點B．
（1）求點B的坐標及a的值；
（2）在x軸下方的拋物線上有一動點M，其橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S關(guān)于m的關(guān)系是，并寫出自變量m的取值范圍
（3）在拋物線上是否存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)B（x，y），（y＞0），利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得：AC⊥BC，|BC|=|AC|，可得

AC

•

BC

=0，

(x-1)2+y2

=

12+22

，聯(lián)立解出即可．
（2）設(shè)M（m，n），代入拋物線方程可得n=

1

2

m2-

1

2

m-2，可得M(m，

1

2

m2-

1

2

m-2)．直線AB的方程為：y=

1-2

3

x+2，化為x+3y-6=0，求出點M到直線AB的距離d．|AB|=

10

．利用S=

1

2

|AB|•d=，即可得出，由n=

1

2

m2-

1

2

m-2＜0，即可得出m的取值范圍．
（3）①點B（3，1）關(guān)于點C（1，0）的中心對稱點為（-1，-1），驗證此點是否滿足拋物線的方程即可．
②過點A（0，2）與直線AC垂直的直線方程為：y=

1

2

x+2，代入拋物線方程可得：x²-2x-8=0，解得E

x=-2 y=1

，或F

x=4 y=4

，驗證|AE|或|AF|是否等于

5

=|AC|即可．

解答： 解：（1）設(shè)B（x，y），（y＞0），
∵AC⊥BC，|BC|=|AC|，
∴

AC

•

BC

=（1，-2）•（1-x，-y）=1-x+2y=0，

(x-1)2+y2

=

12+22

，
化簡聯(lián)立

2y=x-1 (x-1)2+y2=5

，解得

x=3 y=1

．
∴B（3，1），代入拋物線方程y=ax²-ax-2，
可得1=9a-3a-2，解得a=

1

2

．
∴B（3，1），a=

1

2

．
（2）由（1）可得拋物線方程為：y=

1

2

x2-

1

2

x-2，
令y=

1

2

x2-

1

2

x-2＜0，
解得

1- 17

2

＜x＜

1+ 17

2

．
∴m∈(

1- 17

2

，

1+ 17

2

)．
設(shè)M（m，n），代入拋物線方程可得n=

1

2

m2-

1

2

m-2，
∴M(m，

1

2

m2-

1

2

m-2)．
直線AB的方程為：y=

1-2

3

x+2，化為x+3y-6=0，
∴點M到直線AB的距離d=

|m+ 3 2 m2- 3 2 m-12|

10

=

|3m2-m-24|

2 10

．
|AB|=

32+12

=

10

．
∴S=

1

2

|AB|•d=

|3m2-m-24|

4

，m∈(

1- 17

2

，

1+ 17

2

)．
（3）①點B（3，1）關(guān)于點C（1，0）的中心對稱點為（-1，-1），
把x=-1代入 拋物線方程的右邊：可得

1

2

×(-1)2-

1

2

×(-1)-2=-1，
∴點（-1，-1）在拋物線上，滿足使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形．
②過點A（0，2）與直線AC垂直的直線方程為：y=

1

2

x+2，
代入拋物線方程可得：x²-2x-8=0，
解得E

x=-2 y=1

，或F

x=4 y=4

，
|AE|=

22+12

=

5

=|AC|，滿足條件；
|AF|=

42+22

=2

10

≠

5

=|AC|，不滿足條件．
綜上可得：因此在拋物線上存在點P（-1，-1）或（-2，1）（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形，只有這兩個．

點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得交點坐標、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．