Question

已知函數(shù)f（x）=2msin²x-2

3

msinx•cosx+n（m＞0）的定義域為[0，

π

2

]，值域為[-5，4]．
（1）求m，n的值；
（2）求函數(shù)g（x）=msinx+

3

2

ncosx（x∈R）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）將f（x）解析式前兩項利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時正弦函數(shù)的值域，進而確定出f（x）的最大值與最小值，根據(jù)題意列出關于m與n的方程組，求出方程組的解即可得到m與n的值；
（2）將（1）中確定的m和n值代入g（x）中，確定出解析式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）=2m•

1-cos2x

2

-

3

msin2x+n=-

3

msin2x-mcos2x+m+n=-2sin（2x+

π

6

）+m+n，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴當m＞0時，f（x）_max=-2m•（-

1

2

）+m+n=4，f（x）_min=-m+n=-5，
解得：m=3，n=-2；
（2）由m=3，n=-2，得到g（x）=3sinx-3cosx=3

2

sin（x-

π

4

）（x∈R），
令2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），解得：2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

（k∈Z），
則函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]（k∈Z）．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．