Question

14．設函數f（x）對任意實數x滿足f（x）=-f（x+1），且當0≤x≤1時，f（x）=x（1-x），若關于x的方程f（x）=kx有3個不同的實數根，則k的取值范圍是（5-2$\sqrt{6}$，1）∪{2$\sqrt{2}-3$}．

Answer 1

分析 先確定函數f（x）為周期函數，再將問題等價方程f（x）僅有唯一實數根，并結合函數的圖象與判別式得出k的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=-f（x+1），∴f（x+2）=f（x），
即f（x）是以2為周期的函數，
因為，當x∈[0，1]時，f（x）=x（1-x），
所以，x∈[-1，0]時，x+1∈[0，1]，
所以，f（x）=-f（x+1）=x（x+2），
∴f（x）在一個周期內的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），x∈[0，1]}\\{x（1+x），x∈[-1，0]}\end{array}\right.$，如右圖，
依題意，方程f（x）=kx有三個不等的實根，
則該方程一根為負，一根為正，一根為0，即f（x）=kx只有唯一一個正實數根，
當x∈[2，3]時，x-2∈[0，1]，
所以，f（x）=f（x-2）=（x-2）（3-x），
令（x-2）（3-x）=kx，整理得，x²+（k-5）x+6=0，
由△=0，解得k=5-4$\sqrt{6}$（舍k=5+4$\sqrt{6}$），
此時，直線y=（5-4$\sqrt{6}$）x與f（x）的圖象相切，共有5個交點，如圖長虛線直線，
所以，k＞5-4$\sqrt{6}$，------------------①
另一方面，函數f（x）=x（1-x）在x=0處的導數為f'（0）=1，
即直線y=x與f（x）的圖象只有一個交點，如圖短虛直線，
所以，k＜1，------------------------②
當1＜x＜2時，-1＜x-2＜0，f（x-2）=（x-2）（x-1），可得f（x）=f（x-2）=x²-3x+2，
由x²-3x+2=kx，可得判別式為（3+k）²-8=0，
解得k=2$\sqrt{2}$-3（-2$\sqrt{2}$-3舍去），
當直線y=kx（k＜0）與y=f（x）相切可得2$\sqrt{2}$-3．
綜合以上討論得，k∈（5-2$\sqrt{6}$，1）．
故答案為：（5-2$\sqrt{6}$，1）∪{2$\sqrt{2}-3$}．

點評 本題主要考查了抽象函數及其應用，涉及函數周期性的判斷與應用，函數的圖象與性質，以及函數零點個數的判斷，屬于中檔題．