Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(

1

2

，0)，向量

e

=(0，1)，點(diǎn)B為直線(xiàn)x=-

1

2

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C滿(mǎn)足2

OC

=

OA

+

OB

，點(diǎn)M滿(mǎn)足

BM

•

e

=0，

CM

•

AB

=0．
（1）試求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是軌跡E上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R、N在y軸上，圓（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y），B（-

1

2

，m），可得C（0，

m

2

），進(jìn)而得到向量

BM

、

CM

和

AB

的坐標(biāo)，結(jié)合題中向量等式建立x、y與m的等式，再消去m即可得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），可得PR直線(xiàn)的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．由直線(xiàn)PR、PN與題中的圓相切，運(yùn)用距離公式算出(x0-2)b2+2y0b-x0=0、(x0-2)c2+2y0c-x0=0，可得b、c是方程(x0-2)x2+y₀x-x₀=0的兩個(gè)根，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系算出|b-c|關(guān)于x₀的式子，再代入計(jì)算△PRN的面積可得面積S關(guān)于x₀的表達(dá)式，最后利用基本不等式即可求出△PRN的面積的最小值．

解答：解：（1）設(shè)M(x，y)，B(-

1

2

，m)，則
∵點(diǎn)C滿(mǎn)足2

OC

=

OA

+

OB

，∴點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，可得C（0，

m

2

）
由此可得：

BM

=(x+

1

2

，y-m)，

CM

=(x，y-

m

2

)，

AB

=(-1，m)
∵

e

=(0，1)，

BM

•

e

=0，

CM

•

AB

=0
∴可得

y-m=0 -x+m(y- m 2 )=0

，化簡(jiǎn)整理得

y=m x= m2 2

，
消去參數(shù)m得y²=2x，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程為y²=2x；…（4分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
∴PR直線(xiàn)的方程為y=

y0-b

x0

x+b，整理得l_PR：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
∵圓（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PRN，可得PR與圓相切，∴

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，
注意到x₀＞2，化簡(jiǎn)得：(x0-2)b2+2y0b-x0=0，
同理可得：(x0-2)c2+2y0c-x0=0，
因此，b、c是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，…（8分）
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)整理可得|b-c|=

4y02+4x0(x0-2)

|x0-2|

=

2x0

x0-2

，
由此可得△PRN的面積為S =

1

2

•

2x0

x0-2

•x0=(x0-2)+

4

x0-2

+4≥8，
∴當(dāng)x₀-2=

4

x0-2

時(shí)，即當(dāng)x₀=4時(shí)，△PRN的面積的最小值為8．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程并求了△PRN的面積的最小值．著重考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)、軌跡方程的求法和直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．