Question

如果函數(shù)滿足在集合上的值域仍是集合，則把函數(shù)稱為N函數(shù).

例如：就是N函數(shù).

（Ⅰ）判斷下列函數(shù)：①，②，③中，哪些是N函數(shù)？（只需寫出判斷結(jié)果）；

（Ⅱ）判斷函數(shù)是否為N函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都不是N函數(shù).

（注：“”表示不超過的最大整數(shù)）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）是N函數(shù)；（Ⅲ）略

【解析】

試題分析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030504514600582987/SYS201403050453274590852631_DA.files/image003.png">時(shí)，值域不是集合，例如值域中不含2。故不是N函數(shù) 。的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030504514600582987/SYS201403050453274590852631_DA.files/image003.png">時(shí)，值域不是集合，例如值域中不含2。故不是N函數(shù)。當(dāng)時(shí)，所以是N函數(shù)。（Ⅱ）因?yàn)椤?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030504514600582987/SYS201403050453274590852631_DA.files/image007.png">”表示不超過的最大整數(shù)，所以。設(shè)，則，所以，解得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030504514600582987/SYS201403050453274590852631_DA.files/image014.png">所以在一定存在正整數(shù)，即存在滿足（Ⅲ）需對(duì)實(shí)數(shù)在全體實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行討論。若為負(fù)時(shí)，函數(shù)不是N函數(shù)；若函數(shù)有最大值時(shí)，函數(shù)不是N函數(shù)；若函數(shù)的值是正數(shù)但不能取到所有正數(shù)時(shí)，函數(shù)不是N函數(shù)。

試題解析：解：（Ⅰ）只有是N函數(shù).                    3分

（Ⅱ）函數(shù)是N函數(shù).

證明如下：

顯然，， .                  4分

不妨設(shè),

由可得，

即.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030504514600582987/SYS201403050453274590852631_DA.files/image026.png">，恒有成立，

所以一定存在，滿足，

所以設(shè)，總存在滿足，

所以函數(shù)是N函數(shù).                     8分

（Ⅲ）（1）當(dāng)時(shí)，有，

所以函數(shù)都不是N函數(shù).                  9分

（2）當(dāng)時(shí)，① 若，有，

所以函數(shù)都不是N函數(shù).       10分

② 若，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)易得，

所以，都有

所以函數(shù)都不是N函數(shù).         11分

③ 若，令，則，

所以一定存在正整數(shù)使得 ，

所以，使得，

所以.

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，,所以；

當(dāng)時(shí)，,所以，

所以，都有，

所以函數(shù)都不是N函數(shù).      13分

綜上所述，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都不是N函數(shù).

考點(diǎn)：新概念問題，考查分析能力、對(duì)所學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力及論證推理能力。